第3章 母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子。 法是分母，（2/2）

刘徽发展了出入相补原理，成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。

逻辑定义

刘徽对《九章算术》中的所有数学概念都做了解释或逻辑定义，在解释和定义中，他非常注意数学推理的逻辑性，充分考虑各问题之间的逻辑关系.在“勾股”章的注释中，明确指出：这一章之所以一开头就提出了勾股定理，是因为“将以施于诸率，故先具此术，以见其源也”。

刘徽用这一精彩的论述，从“逻辑”角度注释了勾股定理出现在“勾股”章开头的必要性.刘徽认为有些问题不能只限于感性认识，必须在感性认识的基础上提升到理性认识的层面，并在理性认识的基础上形成数学理论.因而，他从逻辑严谨性出发，对于那些能从逻辑上证明的法则都进行了论证。

数学成就

算术

（1）、在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。

《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的着作，在第二、三、六章中有许多比例问题，在世界上也是比较早的。

“盈不足”的算法需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法”，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的。

《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数（中国古代称为通分内子，“内”读为纳）等等。

其步骤与方法大体与现代的雷同。

分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减。

加法的步骤是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子。

“法”是分母，“实如法而一”也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。

就是分子小于分母时便以分数形式保留。

其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可。